证明x^2-3y^2=17无整数解

一楼的方法已经很好了，就是语序要换一换：

假设该方程有解。

因为任意数x被3除只能余0或1或2.
1.当x被3除余0，则x^2被3除余 0*0 mod 3=0.
2.当x被3除余1，则x^2被3除余 1*1 mod 3=1.
3.当x被3除余2，则x^2被3除余 2*2 mod 3=1.
所以任意数x的平方被3除都不余2.……①

又因为 3y^2 被3除余0，17被3除余2.
所以 x^2 被3除必须余2.……②

因为①与②矛盾，所以无解。

如果我没记错的话，这种方法好像不叫“抽屉原理”吧。“抽屉原理”是假想地往抽屉里放东西，如：16个苹果放3个抽屉，就可以根据“抽屉原理”确定至少有一个抽屉里放了不少余6个的苹果数。

证明:
(用抽屉原则来做)

3y^2被3整除,而17被3除余2,

所以x^2被3除一定也余2

n被3除余数有三种可能:0,1,2

其中0的平方被3整除,
1的平方被3除余1,
2的平方4被3除也余1,

所以一个整数的平方被3除不可能余2
(可以如下证明,若n被3整除,
设n=3m,m为整数(下面m均为整数),
则n^2=9m^2被3整除,
若n被3除余1,设n=3m+1,则n^2=9m^2+6m+1,
其中9m^2和6m均被3整除,
所以n^2被3除余1,n被3除余2同理)

所以没有整数解

参考资料:百度知道

用无穷递降法